【導(dǎo)讀】這學(xué)期的信號與系統(tǒng)進(jìn)展到第五章,拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網(wǎng)絡(luò)求解相鄰節(jié)點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統(tǒng)的作用,所以將其替換成 z 變換進(jìn)行描述,則在分析求解過程中會更加的清晰。
01 電阻網(wǎng)絡(luò)
一、問題來源
在網(wǎng)文 Infinite Ladder of 1Ω of Resistor[1] 中討論了如下無窮電阻網(wǎng)絡(luò)兩個相鄰節(jié)點之間的電阻。特別有意思的是,文中還是用了離散傅里葉變換(DFT)給出了另外一種求解方式。這不禁讓人們好奇:在這樣的電阻網(wǎng)絡(luò)分析中,離散傅里葉變換到底起到什么作用?
圖1.1 一歐姆組成的無線電阻網(wǎng)絡(luò)
二、問題求解
1、普通求解方法
??
實際上,原文給出了使用普通電阻串并聯(lián)分析方法, 過程也比較容易。先假設(shè)分別從節(jié)點 (0) 和 (1) 往左和往右得到的等效電阻為。
圖1.1.2 向左,向右兩個半邊無限電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻
??
由于半邊電阻網(wǎng)絡(luò)是無窮大的,所以再前進(jìn)一個節(jié)點所對應(yīng)的等效電阻仍然是。這樣就可以得到如下等式:
這樣便可以求解出。上面等式化簡為
由此可以求得
圖1.1.3 半邊無限電阻網(wǎng)絡(luò)的每一級都是等效電阻R'
??
那么相鄰兩個節(jié)點之間的電阻為
圖1.1.4 相鄰節(jié)點之間的等效電阻
2、離散傅里葉求解
??
假設(shè)每個節(jié)點都由外部施加有電流源進(jìn)行激勵, 分別記做為。對應(yīng)每個節(jié)點的電壓為。
??
根據(jù)基爾霍夫節(jié)點電流定理和歐姆定理可以知道
(1-2-1)
圖1.1.5 每個節(jié)點對應(yīng)的電壓與電流
??
假設(shè)序列所對應(yīng)的離散序列傅里葉變換分別為,則有
根據(jù)離散傅里葉變換的位移性質(zhì),三個相鄰節(jié)點電壓的離散傅里葉變換分別為
據(jù)前面公式()可以知道
(1-2-2)
如果在節(jié)點 (0), (1) 施加正負(fù)1A的電流,對應(yīng)的。在電阻網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點形成對應(yīng)的電壓分布。那么節(jié)點 (0),(1) 之間的電壓差就是電阻網(wǎng)絡(luò)等效的電阻。
圖1.1.6 在相鄰兩個節(jié)點施加正負(fù)1A電流激勵
根據(jù),所以
那么對應(yīng)的電阻
三、利用Z變換求解
離散序列的傅里葉變換實際上是 z 變換的一種特殊形式, 即, 即 z 變換在單位圓上的取值 。那么上述過程是否也可以利用 z 變換求解呢?
1、z變換方程
??
對于電阻網(wǎng)絡(luò)做相同的電流激勵,每個節(jié)點輸入的電流源和節(jié)點對地的電壓分別記作。它們對應(yīng)的 z 變換為。則有
根據(jù)公式 (1-2-1) 以及 z 變換的位移特性,則有
(1-3-1)
對電阻網(wǎng)絡(luò)施加電流,對應(yīng)的
2、留數(shù)定理求取積分
??
上述積分通過留數(shù)定理進(jìn)行求取。積分公式中包含有三個極點
由于都是雙邊序列,所以它們的收斂域都是圓環(huán)。根據(jù)電流激勵源為,所以可以知道 都是面積可和序列,所以它們存在離散傅里葉變換, 這也說明的收斂域包含有單位圓。
根據(jù)上述分析,可以知道積分號中的被積函數(shù)的收斂域只能如下圖所示。
圖1.3.1 積分式內(nèi)函數(shù)的收斂域
??
所以,對應(yīng)的圍線積分的路徑中只包含有兩個極點。這兩個極點對應(yīng)的留數(shù)分別為
所以相鄰節(jié)點之間的電阻為:
02 DFT與ZT
到此為止,我們了解了在求解電阻網(wǎng)絡(luò)相鄰節(jié)點電阻的時候,利用離散傅里葉變換(DFT)的作用,并不是對于各節(jié)點信號進(jìn)行頻譜分析,而是利用 DFT 描述了電阻網(wǎng)絡(luò)在節(jié)點電流激勵下 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點電壓之間的關(guān)系。也就是把上面表達(dá)式(1-2-1)轉(zhuǎn)換成(1-2-2)。然后在DFT變換域內(nèi)對作用下求解,進(jìn)而可以獲得。
?
在最后計算過程中,需要對比較復(fù)雜的三角函數(shù)進(jìn)行積分,這個過程顯得比較麻煩。
??
離散傅里葉變換實際上是 z 變換的一種特殊形式, 也就是,即 z 變換在單位圓上的取值。所以將上述分析更換成 z 變換的形式,也能夠進(jìn)行求解。
??
如果將電阻網(wǎng)絡(luò)看成離散節(jié)點電流輸入,離散節(jié)點電壓輸出,因此這是一個線性離散時不變系統(tǒng)。描述它可以使用 z 變換。這樣系統(tǒng)方程就變成了(1-3-1)。在 z 變換域內(nèi)求取系統(tǒng)的輸出更加方便。
??
可以看到最后計算時,利用留數(shù)定理計算最終的積分值比較方便,避免了比較復(fù)雜的三角函數(shù)的積分計算。但在分析被積函數(shù)的收斂域的時候,需要比較小心。
總結(jié)
這學(xué)期的信號與系統(tǒng)進(jìn)展到第五章,拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網(wǎng)絡(luò)求解相鄰節(jié)點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統(tǒng)的作用,所以將其替換成 z 變換進(jìn)行描述,則在分析求解過程中會更加的清晰。
參考資料
[1] Infinite Ladder of 1Ω of Resistor: https://sites.google.com/site/resistorgrid/node1#sec:1D
免責(zé)聲明:本文為轉(zhuǎn)載文章,轉(zhuǎn)載此文目的在于傳遞更多信息,版權(quán)歸原作者所有。本文所用視頻、圖片、文字如涉及作品版權(quán)問題,請聯(lián)系小編進(jìn)行處理。
推薦閱讀: