【導(dǎo)讀】本文詳解控制理論。通常我們在講解控制理論時，都只通過框圖，而不參考實(shí)際的電路。在數(shù)學(xué)和電路仿真工具的幫助下，我們將一步步說明電子控制理論與現(xiàn)代電路設(shè)計息息相關(guān)。
簡介
大學(xué)教授的許多科目都會令學(xué)生發(fā)問："學(xué)習(xí)這門課程能讓我找到一份工作嗎？"控制理論可能就是這樣一門課程，這些多達(dá)數(shù)頁的數(shù)學(xué)和框圖不會在實(shí)際電路中被直接使用。但是，控制系統(tǒng)教授工程師如何設(shè)計自動系統(tǒng)、系統(tǒng)距離實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定操作還有多大距離，以及如何從給定系統(tǒng)獲得最佳響應(yīng)。因?yàn)椴还苷n程是關(guān)于機(jī)械、電氣、土木、航空，或者是通信工程，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，一切都沒有用。
對于設(shè)計工程師來說，控制理論就是生命本身。
現(xiàn)在有許多關(guān)于控制理論的優(yōu)秀文章，但是其中很多都是借助框圖，以最概括化的方法來進(jìn)行介紹。本文主要面向電子工程師，從電路分析和仿真的角度介紹電子控制系統(tǒng)；介紹了常見的二階系統(tǒng)背后的理論，而且是利用有效的電路示例來加以說明；旨在揭露二階系統(tǒng)的基礎(chǔ)原理，并向嘗試了解電子控制理論的人員說明，該理論與模擬電路設(shè)計之間存在關(guān)聯(lián)。
二階系統(tǒng)
圖1所示為最基礎(chǔ)的二階網(wǎng)絡(luò)。
圖1.由一個電阻、一個電感和一個電容構(gòu)成的二階網(wǎng)絡(luò)。
其傳遞函數(shù)為：
方程1右側(cè)的分母被稱為 特征多項(xiàng)式 ，如果我們令特征多項(xiàng)式為0，我們會得出 特性方程。當(dāng)轉(zhuǎn)換函數(shù)的分母等于0時，得到系統(tǒng)的極點(diǎn) 通過求解特性方程的根（讓特性方程等于0的s的值），我們可以找到系統(tǒng)的極點(diǎn)，從而獲取與系統(tǒng)運(yùn)行狀況相關(guān)的許多信息。
二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為：
其中ζ表示阻尼系數(shù)，ωn表示電路的固有振蕩頻率（或無阻尼頻率），單位為弧度/秒。
所以，二階系統(tǒng)的一般特性方程為：
比較方程3和方程1，我們可以看出，圖1中的電路的固有頻率為：
我們也可以看出，電路中的電阻會影響網(wǎng)絡(luò)的阻尼系數(shù)：
所以
所以
可以直觀看出，如果電路中沒有電阻，網(wǎng)絡(luò)不會出現(xiàn)耗損（無阻尼），如果模擬這種電路，則電路會永久振蕩。隨著電阻增加，振蕩會更快衰減。
圖2顯示一個RLC電路，其中階躍輸入為1 V，L = 1 µH，C = 1 µF，電阻分別為0 Ω、100 mΩ和500 mΩ。電路按照預(yù)期的159 kHz頻率振蕩。電阻增加對衰減的影響一目了然。
圖2.電阻對網(wǎng)絡(luò)振蕩的衰減影響。
我們可以通過將拉普拉斯域轉(zhuǎn)換為時域，以數(shù)學(xué)方式展示圖2所示的模擬結(jié)果。拉普拉斯域中的單位階躍輸入寫為：
所以當(dāng)我們使用單位階躍輸入仿真二階系統(tǒng)時，結(jié)果會變成：
如果使用部份分式分解法，方程9可以寫為：
方程10是表示在拉普拉斯域中的。
在時域中，這會轉(zhuǎn)換為：
其中
采用逆拉普拉斯變換的公式11的數(shù)學(xué)推導(dǎo)如 附錄A所示。
通過公式11，我們可以看出圖1的電路如何響應(yīng)階躍輸入。我們可以看到，波形具有與正弦曲線類似的特性，其幅度則由e–ζωnt項(xiàng)調(diào)制，根據(jù)阻尼系數(shù)是正數(shù)或復(fù)數(shù)出現(xiàn)指數(shù)式衰減或增加。近似來看，響應(yīng)由正弦部分和余弦部分組成，但是，阻尼系統(tǒng)較低時，正弦部分非常小。
此外，盡管電路的固有頻率為ωn，但電路不會按照此頻率振蕩，而是按照更低一些的頻率ωdn決定。
要找出轉(zhuǎn)換函數(shù)的極點(diǎn)，則需要確定轉(zhuǎn)換函數(shù)何時等于0，也就是說：
s的值可以使用二次方程求解：
其中
要得出系統(tǒng)極點(diǎn)，需要：
如果阻尼系數(shù)小于1，會得出負(fù)的平方根，所以最好將方程15寫作：
我們之前說過 ωd = ωn√(1 – ζ2)，所以方程16可以改寫為：
這里我們可以看出，系統(tǒng)的極點(diǎn)包含實(shí)數(shù)部分(–ζωn) 和虛數(shù)部分 (±jωd)。
方程17可以求解得出特性方程的根（系統(tǒng)的極點(diǎn)）。我們?nèi)绾螌⑦@些極點(diǎn)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來？現(xiàn)在我們需要把拉普拉斯域的極點(diǎn)和時域的穩(wěn)定性聯(lián)系起來。
通過方程11和方程17，我們可以得出以下觀察結(jié)果。
無阻尼固有頻率ωn決定了：
拉普拉斯域（方程17）中的極點(diǎn) (–ζωn)的虛數(shù)部分。
振蕩的實(shí)際頻率
由此，可以合理假設(shè)極點(diǎn)的虛數(shù)部分確定了系統(tǒng)振蕩的實(shí)際頻率。
這兩個假設(shè)可以用s平面圖表示，我將在下一節(jié)詳細(xì)介紹。
穩(wěn)定的系統(tǒng)
控制理論認(rèn)為，如果極點(diǎn)位于s平面的左半部分，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖3所示為一個s平面示例，其中實(shí)數(shù)部分在x軸上繪制，虛數(shù)部分在y軸上繪制。
圖3.s平面：顯示穩(wěn)定的左半部分和不穩(wěn)定的右半部分。
從方程17可以看出，如果阻尼系數(shù)為正（方程17的實(shí)數(shù)部分為負(fù)），則極點(diǎn)位于左半部分。隨著阻尼系數(shù)增加，方程17的極點(diǎn)進(jìn)一步向左移動（在左側(cè)平面內(nèi)，越來越靠近左側(cè))。
如果方程17在拉普拉斯域中，如何在時域中轉(zhuǎn)換？
為了方便起見，我們再次使用方程11：
正阻尼系數(shù)ζ會引發(fā)指數(shù)式的衰減幅度響應(yīng)（由e–ζωnt項(xiàng)表示），阻尼越大，衰減越快。隨著阻尼系數(shù)增加，極點(diǎn)進(jìn)一步向左移動（在拉普拉斯域內(nèi)），這進(jìn)一步增大了時域內(nèi)的指數(shù)式衰減。從圖2中可以看出這一點(diǎn)，圖2使用100 mΩ和500 mΩ線路來表述電阻對阻尼的影響。在此區(qū)域中，500 mΩ線路的阻尼系數(shù)最大，所以它的指數(shù)式衰減最明顯。0 Ω時，阻尼系數(shù)為0，此時極點(diǎn)完全位于y軸上，電路無限振蕩，如圖2中的綠色線路所示。
值得注意的是，即使系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這并不表示一定沒有振蕩。電路可能會在左半平面的極點(diǎn)處振蕩，但是這些振蕩的振幅會隨著時間而衰減，如圖2所示。
這對圖1中的電路意味著什么?
我們知道圖1中的阻尼是通過下方的方程得出：
它的固有頻率則是：
所以，在L = 1 µH，C = 1 µF時，固有頻率為1 Mrads–1 (= 159.1 Hz)，R = 500 mΩ時的阻尼系數(shù)為0.25。
所以，阻尼振蕩頻率ωd由以下方程計算得出：
所以，阻尼振蕩頻率為968 krads–1，即154 kHz。這可以通過查看圖4中紅色波形的頻率來說明。
圖4.阻尼對RLC電路振幅和頻率的影響。
正弦波的振幅按e–ζωnt衰減。阻尼系數(shù)為0.25，固有頻率ωn為1 Mrads–1，阻尼固有頻率為968246 rads–1，那么方程11變成：
使用這個公式，計算得出VOUT在3.26 μs時為1.44 V，在9.75 μs時為1.09 V，與圖4中顯示的讀數(shù)完全一致。
圖4清楚顯示了增加阻尼系數(shù)會產(chǎn)生的影響，即振幅和阻尼固有頻率都減小。
如果我們繼續(xù)增大阻尼系數(shù)，會出現(xiàn)什么結(jié)果？
我們知道阻尼固有頻率是通過以下方程計算得出：
當(dāng)阻尼系數(shù)增大到一時，阻尼固有頻率減小到零。這就是所謂的臨界阻尼點(diǎn)，此時電路中的所有振蕩終止。這一點(diǎn)可參見方程11。自阻尼固有頻率ωd減小到0，正弦項(xiàng)等于0，余弦項(xiàng)目等于一，表達(dá)式簡化為一階系統(tǒng)，與通過電阻充電的電容完全一樣。
這一點(diǎn)可以參見圖4中的臨界阻尼線路。
不穩(wěn)定系統(tǒng)
由于所有電路都具有電阻，所以許多電子控制電路的極點(diǎn)都位于左半平面，且系統(tǒng)本身保持穩(wěn)定。但是，由方程11可以看出，負(fù)阻尼系數(shù)會導(dǎo)致振幅響應(yīng)呈指數(shù)增長，所以極點(diǎn)位于右半平面會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。在電路模擬中，通過插入負(fù)電阻，可以很容易看出右半平面的影響。圖5顯示RLC電路，其電阻為負(fù)。
圖5.電阻為負(fù)的RLC電路。
該電路的阻尼系數(shù)為-0.1。圖6顯示了它對階躍輸入的響應(yīng)。
圖6.阻尼為負(fù)的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。
阻尼固有頻率仍然由以下方程表示：
阻尼系數(shù)為-0.1時，振蕩的實(shí)際頻率為994987 rads–1 (158.3 kHz)。
同樣，從方程11可以看出電路響應(yīng)由以下公式表示：
在輸出增大時，我們可以得出振幅響應(yīng)：VOUT在41.05 μs時，計算得出的值為61.62 V，在47.36 μs時，為114.99 V，與圖6中所示的讀數(shù)完全一致。
主導(dǎo)極點(diǎn)
有時一個系統(tǒng)由許多極點(diǎn)組成，使分析變得復(fù)雜。但是，如果極點(diǎn)之間相隔的距離足夠大，那么一個極點(diǎn)產(chǎn)生的影響會占主導(dǎo)，因此可以忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)，從而簡化系統(tǒng)。
圖7的上半部分顯示了兩個RLC電路，每個都使用完全相同的L和C元件；只是電阻發(fā)生了變化。電阻較低的電路的極點(diǎn)更靠近s平面的虛數(shù)軸。
圖7.主導(dǎo)極點(diǎn)的位置對串聯(lián)和并聯(lián)電路的影響。
圖7的下半部分顯示了這兩個電路的串聯(lián)。我們使用行為電壓源B1來復(fù)制V(OUT3)，以免它被R4、L4和C4加載，以便我們查看V(OUT3) × V(OUT4)的真實(shí)響應(yīng)。
圖8.當(dāng)兩個波形相加或相乘時，主導(dǎo)極點(diǎn)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。
我們可以參考圖8查看它們的響應(yīng)。不出所料，電阻最大的電路具有最大的阻尼系數(shù)，因此其振蕩衰減也最快，如圖V(OUT2)所示。但是，我們注意到，當(dāng)兩個輸出要么相加（使電路并聯(lián)），要么相乘（使電路串聯(lián)）時，V(OUT1)在響應(yīng)中占主導(dǎo)。因此，要簡化復(fù)雜的系統(tǒng)，方法之一是重點(diǎn)關(guān)注極點(diǎn)更靠近jω軸的電路，該電路會主導(dǎo)整個系統(tǒng)的響應(yīng)。
在左右半面均有極點(diǎn)分布的系統(tǒng)
我們已經(jīng)考慮過極點(diǎn)位于左半平面或右半平面的系統(tǒng)。如果系統(tǒng)在左右半面均有極點(diǎn)分布，會怎么樣？哪一種在穩(wěn)定性方面更勝一籌？為什么？
我們再次參考方程11，可以看出指數(shù)是決定系統(tǒng)是否穩(wěn)定的決定因素。我們可以忽略方程11的正弦部分，只看指數(shù)，以了解如果我們將左半面的極點(diǎn)和右半面的極點(diǎn)結(jié)合，會發(fā)生什么。圖9通過一個簡單電路來進(jìn)行演示。
圖9.極點(diǎn)分別位于左半面和右半面的電路。
很顯然，頂部的RC電路的極點(diǎn)位于左半面，因?yàn)樗碾娮铻檎?。底部電路的極點(diǎn)則位于右半面。得出此結(jié)論的數(shù)學(xué)推導(dǎo)如 附錄B所示。
圖9中，電路的響應(yīng)如圖10所示。
圖10.對具有正負(fù)電阻的RC電路的階躍輸入的響應(yīng)。
頂部波形在大約5毫秒后穩(wěn)定在零梯度，這符合大眾接受的規(guī)則，即RC電路將穩(wěn)定在大約5個時間常數(shù)。相反，V(OUT2)的梯度不斷增加?，F(xiàn)在可以明顯看出，如果將極點(diǎn)位于左半面的電路和極點(diǎn)位于右半面的電路串聯(lián)，那么整個電路會不穩(wěn)定，這是因?yàn)樵谧蟀朊骐娐贩€(wěn)定很長時間后，右半面電路的響應(yīng)會繼續(xù)呈指數(shù)上升。因此，為了讓電路穩(wěn)定，所有極點(diǎn)都必須位于左半面。
結(jié)論
本文將電子控制理論中使用的理論模型與電子工程師所處的現(xiàn)實(shí)聯(lián)系起來。受系統(tǒng)中的電阻（或阻尼）影響，只有當(dāng)所有極點(diǎn)都位于左半面時，控制系統(tǒng)才會保持穩(wěn)定。對于極點(diǎn)位于右半面的系統(tǒng)，通過測量其輸出響應(yīng)，結(jié)果證實(shí)存在問題，因?yàn)檫@需要構(gòu)建負(fù)電阻模型。幸好，計算機(jī)模擬幫我們解決了這個問題，讓我們能夠通過簡單變更電阻的極性來展示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的電路。
同樣，拉普拉斯變換也很少在課堂之外出現(xiàn)，但在驗(yàn)證二階電子系統(tǒng)如何工作時，它們的作用可謂是無價的。
附錄A
顯示
單位階躍輸入的拉普拉斯變換為
二階低通濾波器的通用轉(zhuǎn)換函數(shù)為
所以，由單位階躍模擬的二階系統(tǒng)的響應(yīng)為
使用了標(biāo)準(zhǔn)的部份分式分解法，方程如下：
用s代替x之后，
在A4中，分子中不含s或s2。而且，分母中也不含a。
所以方程A6可以改寫為
因此
為保證方程A8兩邊的分母相同，可以將其改寫為
為了驗(yàn)證，可以將方程A9的右側(cè)與方程A8的右側(cè)進(jìn)行比較：
現(xiàn)在，我們可以使方程A9的分母相等，以求解A、B和C：
s2的系數(shù)相等：
0 = A + B
s1:的系數(shù)相等：
0 = A(2ζωn) + C
s0:的系數(shù)相等：
ωn 2 = Aωn 2
所以A = 1, B = –1, C = –2ζωn
因此，通過方程A8可以得出
（注意符號的變化，因?yàn)锽和C都為負(fù)）
從時域（左邊）到拉普拉斯域（右邊）有三次變換：
通過完成平方計算，我們可以把方程A12寫為
等于
我們現(xiàn)在需要讓分子等于 (s + 2ζωn) ，使其與分母中的第一項(xiàng)匹配，以便我們使用拉普拉斯定義：
因此，通過將ζωn分子項(xiàng)分解為分式，方程A15等于
（所以， a = –ζωn b = ωn√(1 – ζ2))
我們現(xiàn)在需要讓方程A17的第三個項(xiàng)等于ωn√(1 – ζ2) ，使其和分母匹配，以便我們使用拉普拉斯定義：
用方程A17的第三個項(xiàng)除以 ωn√(1 – ζ2)，然后將 ωn√(1 – ζ2)放在分子位置。
那么整個方程可以改寫為
所以 a = –ζωn b = ωn√(1 – ζ2)
方程A19現(xiàn)在可以從拉普拉斯域中轉(zhuǎn)變?yōu)?/div>
第三項(xiàng)中取消了兩個wn。因?yàn)樽枘峁逃蓄l率ωd可以寫為
方程A21可以簡化為
許多課本中提到，方程A21的多項(xiàng)式也可以寫為
所以我們的衰減指數(shù)由阻尼系數(shù)和無阻尼固有頻率決定，振蕩由阻尼固有頻率決定。
可以將方程A23輸入電子表格和表示輸出與階躍輸入之間關(guān)系的圖表中。
附錄B
顯示
單位階躍輸入的拉普拉斯變換為
RC電路的通用轉(zhuǎn)換函數(shù)為：
s為負(fù)值時，分母為零，所以這個電路的極點(diǎn)位于左半面上，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果電阻為負(fù)，那么極點(diǎn)位于右半面，系統(tǒng)會不穩(wěn)定。
從方程B3可以看出，RC電路的轉(zhuǎn)換函數(shù)與階躍輸入之間的關(guān)系為
使用了標(biāo)準(zhǔn)的部份分式法，方程如下：
在本例中，a = 0
所以
分子中s1 的相等項(xiàng)為
0 = ACR + B
分子中 s0的相等項(xiàng)為
1 = A
所以 A = 1, B = –CR
因此
從時域（左邊）到拉普拉斯域（右邊）有兩次變換：
將方程B7轉(zhuǎn)化為采用時域意味著RC按照預(yù)期
進(jìn)行響應(yīng)。
附錄
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參考電路
Charles Phillips、Royce Harbor。《反饋控制系統(tǒng)》，第4版。Prentice Hall International，1988年。.
致謝
我們采用 LTspice進(jìn)行模擬。
非常感謝倫敦布魯內(nèi)爾大學(xué)的Maysam Abbod為本文實(shí)施理論校正。
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